维恩图解

维恩图解

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维恩图解(Venndiagram)亦称欧拉图解,是集合问题的一种解法。利用维恩图直观地解答集合问题称为维恩图解,在维恩图解中,方形的边框内包含了所有可能的事件,其中的区域(概率)等于1。圆圈代表特殊的事件。每一个圆圈所包含的区域代表了该事件发生的概率。

图1是一个维恩图解的例子,其中旬祝葛两个事件(A和B)是独立的。这两个事件是相互排斥的,不可能同时发生,所以两个圆圈没有相互重叠。圆圈所在的区域表示为P(A)和P(B),事件A和B发生的概率

你可以把维恩图解看成是箭靶子。设想朝这个靶子放出一枝箭,这枝箭落在靶篮嘱朽子上任何区域的概率都是相等的,但是一定会击中这个靶子。靶子上的圆圈代表每一个可能的事件,所以如果射出的箭落在了圆圈A,就代表了事件A发生了。再进一步, 每一个圆圈所在区域大小代表该区域每一个事件发生的概率。其目的是将每一个圆圈代表的区域与每一个事件的概率相对应,但是通常符符很难(这里也没有做到)做到。恋享劝拳在图1中,我无法将一枝箭同时射中A和B,所以,这两个事件不可能同时发生。

(A∪B) 在维恩图解中是圆圈A和圆圈B覆盖的区域,而A∩B是一般指圆圈A和圆圈B共同覆盖的区域。在图1中,事件A和B是相互排斥的,举例来说,可以看到:

现在看看图2,A和B不是相互排斥的:它们可以同时发生,在维恩图解中用重叠代表。这个图中产生了四种不同的区域。可以从以下区域观察到:

【例1】对于更为复杂的问题,维恩图解变得非常有用。如果一只绵羊可能患A、B、C和D疾病中的一种,概率分别为12%、8%、7%和2%。如果患任何一种疾病,都不能通过检验检疫。A、B和C三种疾病相互之间是独立的,但是疾病D不可能与疾病A、B或者C同时发生,原因是引起疾病D的寄生虫无法存活。任何一只特定的绵羊不能通过检疫检验局院提的概率P(F)是多少?使用图3,通过计算区域并去除重复计算的区域可以得到:

=P(A)+P(B)+ P(C)-P(A∩B)-P(A∩C)-P(B∩C)+P(A∩B∩C)+P(D)

【例2】我们现在想像投掷硬币三次。事件A是第一次投掷得到正面,事件B是第二次游投掷得到正面,事件C是最少有一次投掷得到正面,事件D是所有投掷都得到正面。图4画出了这个问题的维恩图解。

这些结果展仔劝骗祖示在维恩图解之中。由于对于一个平衡的硬币来讲,每一个结果都具有相同的概率,我们就可以看到:

我们看看概率P(A/B)=p (第一次投掷=H第二次投掷=H)。结果(3,5,6,8}全部都在事件B中,但是只有{5,8}也在事件A中。这样,P(A/B)=P({5,8})/P({3,5, 6,8})=1/2。对于一个平衡的硬币而言,由于每次投掷是独立的,这也就是我们知觉所期望得到的结果。禁犁拳这个例子说明在维恩图解中,条件概率P(A/B)就是区域B同时包含在区域A中的比例

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